REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL
PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
MISIÓN SUCRE-ESTADO COJEDES
ALDEA “ALEJANDRO FEBRES” (FIN DE SEMANA)
SAN CARLOS – COJEDES
MATEMATICA
II
FACILITADOR:
Ing. Nathalie Mendoza
Triunfadores:
Calvo
Edward, C.I. N° V- 19.503.324
Castillo Benilde, C.I. N° V- 20.952.029
Morales
Lesbia, C.I. N° V- 10.321.032
Rangel Pablo, C.I. N° V- 18.320.624
Rangel Pablo, C.I. N° V- 18.320.624
San
Carlos, julio 2014
INDICE
INTRODUCCION.................................................................................. 02
DESARROLLO.................................................................................... 03 AL 13
CONCLUSIÓN.................................................................................... 14
BIBLIOGRAFIA................................................................................. 15
INTRODUCCION
La unidad Curricular Matemática II, del Programa CTA. Informática, ofrece a sus estudiantes, diversos ejes temáticos para complementar su formación en el área de Matemática.
En
ese sentido, el tema Matriz permite la investigación no sólo bibliográfica,
sino en página Web, por lo que al respecto, el trabajo que se presenta,
corresponde a definiciones en torno a: Matrices, Matriz, tipos de matrices y
ejemplos relacionados con el tema, todo lo cual es un producto acabado y se
deja a consideración para las observaciones que
puedan emitirse sobre el particular, puesto que, en líneas generales, el
tema abarca diversos ámbitos.
DEFINICION DE MATRICES
Las
matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J.
Sylvester.
El
desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamiltonen 1853. En
1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de
escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógniticas
Las
matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas
parciales.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas
de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística,
economía, informática, física, etc. Las matrices se describen en el campo de la teoría
de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas,
La
utilización de matrices (arrays–en inglés) constituye actualmente una parte
esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se
introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas
de cálculo, bases de datos.
UNA MATRIZ; es un conjunto de elementos
de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en
filas y columnas. Se llama matriz de
orden "m X n" a un conjunto
rectangular de elementos a Ij dispuestos
en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m X n
números naturales.
Las
matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las
mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b,
c, ...Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j
se escribe a ij.
Es
un arreglo bidimensional o tabla bidimensional de números
consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre
sí.
Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas, de forma rectangular.
Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas, de forma rectangular.
La matriz es una tabla cuadrada
o rectangular de datos (llamados
elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una
fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada
una de las líneas verticales de la matriz. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m
x n; y a m y n se les denomina dimensiones de la matriz.
Las dimensiones de la matriz siempre se dan con el número de fila
primero y el número de columnas. Por lo general se trabaja con matrices
formadas por números reales. Otro concepto de matriz; es un conjunto
ordenado en una estructura de filas y columnas; los elementos de este conjunto pueden ser objeto
matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos
exclusivamente con matrices por números reales
CLASIFICACION O TIPOS DE MATRICES
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DEFINICIÓN
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EJEMPLO
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FILA
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Es una matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
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COLUMNA
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Es una matriz que tiene una
sola columna, siendo su orden m×1
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RECTANGULAR
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Es una matriz que tiene distinto número de filas que de columnas,
siendo su orden m×n ,
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TRASPUESTA
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Dada una matriz A,
se llama traspuesta de A, a
la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por At ó AT |
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OPUESTA
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La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada
elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
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NULA
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Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se
denota por 0m×n
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CUADRADA
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Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m =
n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal
principal: son los elementos a11
, a22 , ..., ann
Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A. |
Diagonal principal :
Diagonal secundaria :
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SIMÉTRICA
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Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A = At , aij = aji |
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ANTISIMÉTRICA
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Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.
A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0 |
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DIAGONAL
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Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto
los de la diagonal principal
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ESCALAR
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Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto
los de la diagonal principal que son iguales
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IDENTIDAD
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Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto
los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.
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TRIANGULAR
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Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por
debajo) de la diagonal principal nulos.
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ORTOGONAL
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Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT
La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1. |
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NORMAL
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Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices
simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.
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INVERSA
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Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que :
A·A-1 = A-1·A = I |
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EJEMPLOS
DE MATRIZ
Matriz fila
Una
matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La
matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La
matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su
dimensión mxn.
Matriz traspuesta
Dada
una matriz A, se
llama matriz traspuesta de A
a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
(At)t
= A
(A + B)t
= At + Bt
(α ·A)t
= α· At
(A · B)t
= Bt · At
Matriz nula
En
una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz cuadrada
La
matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la
diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j =
n+1, siendo n el orden de la matriz.
Tipos de matrices cuadradas
Matriz triangular superior
En
una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal
principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En
una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal
principal son ceros.
Matriz diagonal
En
una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal
principal son nulos.
Matriz escalar
Una
matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales.
Matriz identidad o unidad
Una
matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales a 1.
Matriz regular
Una
matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una
matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una
matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una
matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica
Una
matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o
hemisimétrica
Una
matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = −At.
Matriz ortogonal
Una
matriz es ortogonal si verifica que:
A · At = I.
BIBLIOGRAFIA
v wikibooks.org/wiki/Matemáticas/Matrices/Concepto_de_Matriz
v http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html
CONCLUSION
Las
matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J.
Sylvester, su desarrollo se inicia de la
teoría se debe al matemático W.R.
Hamiltonen 1853. Las matrices, constituyen valores numéricos o variables, que
pueden estar representados por letras, columnas y filas de manera rectangular.
La matriz constituye tabla
bidimensional de números consistente a cantidades, que permiten sumarse y
multiplicarse entre sí.
Se consideran diversos tipos de
matriz, entre los cuales está; fila, columna, rectangular, traspuesta, opuesta,
nula, cuadrada, simétrica antisimétrica, diagonal, escalar, identidad,
triangular, ortogonal, normal, inversa, entre otras
Los ejemplos visualizados, han
permitido el desarrollo y capacidad de como pueden identificarse las diversas matrices.
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